Впервые отправился на фронт в 1941, когда ему было всего 17 лет, копал противотанковые рвы. В начале 1942 года Климешин попал в полковую школу под Саратовом. Оттуда уже сержантом вновь отправился на фронт, где сражался за Родину в 81-й гвардейской дивизии. Попав в гущу военных событий, получил лёгкое ранение в ногу под Брянском. Восстановившись, снова в бой, а затем опять травма и лечение.
После госпиталя, в должности помощника командира взвода участвовал в освобождении Витебска, Городка и других населённых пунктов этого направления. А в 1944 году в одном из боёв Георгия Фёдоровича ранили в голову. Травма оказалась серьёзной – несколько дней юный сержант находился без сознания.
«Пришёл в себя я в Ивановском военном госпитале, выхаживали меня долго, – рассказал юбиляр. – Оправившись от ранения, я получил инвалидность. А в моём военном билете появилась запись «годен к нестроевой». Поэтому был назначен в запасный полк».
Позже Климешин стал курсантом танкового училища, где изучал военную технику с утра до ночи. В первых числах мая 1945 года обучение закончилось. Выпускники училища по команде сверху стали снаряжаться на фронт.
«Курсантам дали три дня на сборы, выдали сухпаёк. Мы уже ждали отправки, когда 9 мая всем сообщили о победе Советского Союза над фашисткой Германией. Помню тот день, как сейчас. Мы радовались, как дети!»
– вспоминает ветеран.
В 1962 году Георгий Федорович переехал в город Ермолино, где живёт в настоящий момент. В 2012 фронтовику присвоено звание Почётного гражданина города, а в 2020 – Боровского района. Награждён Орденом Отечественной Войны I степени, медалями «За боевые заслуги», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.», отмечен грамотами за многолетний добросовестный труд на благо поселения и Боровского района.
Сегодня ветерана Великой Отечественной войны поздравили с вековым юбилеем руководители Боровского района Анатолий Бельский и Николай Калиничев. В честь сотого дня рождения творческие коллективы ермолинского Дома культуры устроили под окнами Георгия Фёдоровича праздничный концерт.