Он родился 6 апреля 1938 года в поселке Глуховском (ныне Куйбышевский район Калужской области). Его родители - потомственные землепашцы. Отец воевал на фронтах Великой Отечественной войны и был одним из десяти, кто вернулся в деревню после войны. На фронт из нее ушли 25 односельчан.
1 сентября 1945 года Александр начал учиться в Садовищенской начальной школе, а в 1949 году перешел в новую школу в Бетлице. Закончил ее с медалью, затем был зачислен в Бежицкий институт транспортного машиностроения (БИТМ), где готовили заместителей командиров танковых рот по технической части в звании лейтенантов. После успешного окончания института Александр Авдеев получил назначение на завод «Калугаприбор», где был избран секретарем заводского комитета ВЛКСМ. В 1973 году его избирают вторым секретарем Ленинского райкома партии города Калуги и предлагают пройти учебу на двухгодичных курсах повышения квалификации в Высшей Краснознаменной школе КГБ им. Ф.Э. Дзержинского. После ее окончания Авдеев был направлен в Управление КГБ СССР по Калужской области. С 1979 года он служил там в качестве начальника оперативного отдела. Ему было присвоено воинское звание полковника. Награжден знаком «Ветеран органов КГБ СССР», присвоено редкое звание «Почетный сотрудник органов Комитета государственной безопасности СССР».
В августе 1992 года Александру Тимофеевичу Авдееву предложили образовать новую структуру – Управление Федеральной службы налоговой полиции России по Калужской области и он стал начальником налоговой полиции. За год работы налоговой полицией было проведено 945 проверок, в которых выявлено 124 нарушения, изъято из незаконного оборота 160 тыс. литров алкогольной продукции. Это оказался один из лучших показателей в Центральном федеральном округе РФ.
В конце лета 1995 года Указом Президента РФ А.Т. Авдееву было присвоено звание генерал-майора налоговой полиции. Его наградили знаком «Почетный сотрудник налоговой полиции Российской Федерации», а также именным оружием. В 2000 году Александр Тимофеевич подал в отставку, но продолжил работать сначала в должности заместителя директора по социальным вопросам на ОАО «Калужский завод «Автоприбор» (КЗАМЭ), а с 2005 года - заместителем по кадрам и социальным вопросам ЗАО «Калужский завод силикатных материалов.
Коллектив Издательского дом «КГВ» выражает искренние соболезнования родным и близким Александра Тимофеевича Авдеева. Прощание с ним состоится 18 февраля в 11-30 по адресу: г. Калуга, ул. Воронина. д. 1.